Kernel density estimation은 unsupervised learning으로, 밀도 추정 방법 중에 하나입니다. 우리가 가장 흔히 알고 있는 밀도 추정 방법 중에 하는 히스토그램입니다. 다만 히스토그램은 각 계급간 불연속적 이고 계급의 크기나 시작위치에 따라 형태가 쉽게 달라지는 단점이 있습니다. KDE는 말그대로 Kernel을 활용하는 것으로 Kernel Regression본 것과 같이 연속적입니다. 따라서 부드러운 밀도 함수를 도출해낼 수 있습니다. KDE에서 분포를 찾아가는 과정은 아래와 같습니다. Kernel Regression에서 Kernel을 활용한 기본적인 개념은 나(기준)와 가까운 것에 가중치를 주는 것이였습니다. KDE에서도 마찬가지입니다. $x_0$이 있다고 가정해보면 $..

이번 포스팅에서는 Parametric한 방법론으로, Kernel Trick을 활용한 Regression에 대해서 다루어보도록 하겠습니다. Kernel Trick을 활용한 Regression은 Basis Expansion과 개념적으로 동일하게 Input 변수 X를 커널함수를 활용하여 Mapping한 변수를 활용하여 파라미터를 추정하는 것입니다. (Basis Expansion 개념의 쉬운 예로 Polynomial Regression같은 경우는 Input X를 제곱, 세제곱하여 새로운 값를 만들어 Regression을 하여 특정 Parameter $\beta$를 추정하였습니다.) [Kernel Ridge Regression] Kernel Ridge Regression의 경우에는, 위에서 정리된 것과 동일하게 ..

Kernel Regression이라고 불리는 것 중에는 크게 2가지 방안이 있습니다. 첫번째는 Non-parametric한 방법으로 어떠한 함수의 형태를 Fix하지 않고 Kernel을 Weight으로써 활용하여 방안입니다. 두번째는 Kernel trick Regression이라고 하여, Input X를 Kernel함수를 통하여 특정값에 Mapping하여 해당 Mapping된 Value들을 활용하여 OLS추정법을 활용하여 target Y를 예측하는 것입니다. Python의 sklearn은 Kernel Ridge Regression(KRR) method를 제공하는데 두 번째 방안과 같이 작동을 하게 됩니다. 먼저 Non-parametric 방안에 대해서 정리해보도록 하겠습니다. [Kernel Regressi..

우리가 앞서 정리했던 Cubic Spline, Natural Cubic Spline은 knot이라는 절단점을 정하여 구간별로 적절한 3차 다항식을 Fitting하였습니다. Smoothing Spline은 knots의 Maximal set을 활용함으로써 절단점을 어디로 할지 결정하는 것에 있어서 자유롭습니다. 즉 주어진 Input X의 Unique한 모든 값을 knot으로써 활용한다는 것입니다. 따라서 Smoothing Spline을 구현하는 것은 모든 Unique한 X값을 knot으로 하는 Natural Cublic Spline을 구현한 것과 같습니다. 다만, 아래의 식에서 보는 것과 같이 추가적인 Penalty가 주어지기 때문에 $\lambda$가 0이 아니라면 Ridge, Lasso와 같이 Natur..

Natural Cubic Spline을 다루기에 앞서, 지난 포스팅(direction-f.tistory.com/85)에 다루었던 Regression Spline에 대해서 다시 한 번 정리하고 가보도록 하겠습니다. Regression Spline은 절단점에서 연속이라는 제한조건을 추가로 부여하여 다항식을 적합하는 것입니다. 이는 Basis Exapansion관점에서 해당 제한조건을 만족하는 적절한 Basis Function을 찾아서 Fitting 하는 것과 마찬가지 였습니다. 마찬가지로 Basis Exapansion 관점에서 추가적인 제한조건을 추가하게 되면 기존과 다른 Basis function을 찾게 될 것임을 직관적으로 예상할 수 있습니다. 여기서 가장 작은 절단점보다 값이 작은 구역과 가장 큰 절단..

지금까지 우리는 input feature X에 대한 선형 모형을 주로 다루었습니다. 이번 포스팅에서는 input feature에 추가적인 항을 붙이거나, 입력 변수 X를 transformation을 함으로써 비선형성을 부여하는 방법에 대해서 다루고자 합니다. 가장 간단한 비선형성 부여 방법은 X의 다항식들을 추가 input으로 활용하는 것입니다. 예를 들어 X에 추가적으로 $X^2$, $X^3$과 같은 항을 활용하는 것입니다. 더 나아간다면 구간 별로 다른 다항식을 활용하는 방법도 있을 것입니다. 이번 포스팅에서는 이러한 방법들 중에서 크게 1) Polynomial Regession 2) Piecewise Polynomial Regession 3) Regression Spline(cubic/natural..