모델을 선정하는데 흔히 우리가 활용하는 지표로써, AIC, BIC, $C_p$가 있습니다. 이 지표들을 설명하기 전에 먼저, Optimism과 In-sample error에 대해서 간단히 정리하고 넘어가도록 하겠습니다. 먼저 In-sample error에 대해서 정리하기에 앞서, Training Set이 (x,y)로 주어졌다고 해보겠습니다. 그렇다면 Training Error는 L(y, f(x))가 될 것입니다. 그리고 training point x에 대해서 새로운 관측값 $y^o$가 나타났다고 가정해보면, 새로운 관측값에 대해서 Prediction을 수행한 것에 대한 Error는 L($y^o$, f(x))가 될 것이고, 이를 In-Sample Prediction이라고 합니다.(https://stats...

학습한 모델의 성능을 평가하는 것에 중요성은 모두가 공감할 것이라고 생각합니다. 특히 새로운 데이터에도 일관된 성능을 가지는 모델을 구현하는 것은 해당 모델의 성능과 아주 밀접한 관련이 있습니다. 이러한 일관된 성능과 관련된 개념이 Bias, Variance 그리고 Model Complexity 입니다. Bias와 Variance와 관련하여 아주 유명한 그림 하나를 살펴보겠습니다. Bias는 Underfitting과 관련된 것으로, 적합한 성능을 내기 위한 정보들을 모두 활용하지 못하여 정확성이 떨어진 것을 말합니다. Variance는 Overfitting과 관련된 것으로 너무 많은 정보를 고려한 나머지 Training set에만 잘 맞는 모형을 적합한 것입니다. 일반적으로 Model Complexity..

커널 밀도를 추정하게 되면 우리는 데이터에 대한 확률 분포를 추정한 것과 같게 됩니다. 따라서 LDA(direction-f.tistory.com/80?category=954338)에서 분포를 활용하여 Classification을 수행한 것과 동일한 원리로 Classification을 수행할 수 있게 됩니다. 즉 Bayes Rule을 적용하여 Classification을 수행하게 됩니다. Bayes Rule에 따라 아래와 같이 정리되고 이 때 확률은 다음과 같이 정의됩니다. 최종적으로 $Pr(G|X)$는 $Pr(X|G)$와$Pr(G=k)$에 비례하게 되므로, 최종적으로 아래와 같이 정리 됩니다. LDA와 다른 점은 우리는 $f_k(x)$를 KDE로 추정하여 활용한다는 것입니다. Python을 활용하여 추정..

Kernel density estimation은 unsupervised learning으로, 밀도 추정 방법 중에 하나입니다. 우리가 가장 흔히 알고 있는 밀도 추정 방법 중에 하는 히스토그램입니다. 다만 히스토그램은 각 계급간 불연속적 이고 계급의 크기나 시작위치에 따라 형태가 쉽게 달라지는 단점이 있습니다. KDE는 말그대로 Kernel을 활용하는 것으로 Kernel Regression본 것과 같이 연속적입니다. 따라서 부드러운 밀도 함수를 도출해낼 수 있습니다. KDE에서 분포를 찾아가는 과정은 아래와 같습니다. Kernel Regression에서 Kernel을 활용한 기본적인 개념은 나(기준)와 가까운 것에 가중치를 주는 것이였습니다. KDE에서도 마찬가지입니다. $x_0$이 있다고 가정해보면 $..

이번 포스팅에서는 Parametric한 방법론으로, Kernel Trick을 활용한 Regression에 대해서 다루어보도록 하겠습니다. Kernel Trick을 활용한 Regression은 Basis Expansion과 개념적으로 동일하게 Input 변수 X를 커널함수를 활용하여 Mapping한 변수를 활용하여 파라미터를 추정하는 것입니다. (Basis Expansion 개념의 쉬운 예로 Polynomial Regression같은 경우는 Input X를 제곱, 세제곱하여 새로운 값를 만들어 Regression을 하여 특정 Parameter $\beta$를 추정하였습니다.) [Kernel Ridge Regression] Kernel Ridge Regression의 경우에는, 위에서 정리된 것과 동일하게 ..

Kernel Regression이라고 불리는 것 중에는 크게 2가지 방안이 있습니다. 첫번째는 Non-parametric한 방법으로 어떠한 함수의 형태를 Fix하지 않고 Kernel을 Weight으로써 활용하여 방안입니다. 두번째는 Kernel trick Regression이라고 하여, Input X를 Kernel함수를 통하여 특정값에 Mapping하여 해당 Mapping된 Value들을 활용하여 OLS추정법을 활용하여 target Y를 예측하는 것입니다. Python의 sklearn은 Kernel Ridge Regression(KRR) method를 제공하는데 두 번째 방안과 같이 작동을 하게 됩니다. 먼저 Non-parametric 방안에 대해서 정리해보도록 하겠습니다. [Kernel Regressi..