2020. 12. 27. 20:06ㆍ계량경제학
이전 포스팅(direction-f.tistory.com/68)에 이어서, 시계열 모형을 결정하기 위한 Process에 대해서 정리해보도록 하겠습니다.
이전 포스팅에서 원본 시계열 데이터의 비정상성을 차분을 통해서 정상성을 가진 시계열 데이터로 변환했으며, ACF&PACF 그래프를 활용하여, 대략적으로 모형의 차수를 결정해보았습니다.
이번 포스팅에서는 모형을 추정하고, 진단을 통해서 우리가 가지고 있는 데이터의 타당한 모형을 구축해보겠습니다.
[Estimation/Diagnosis]
먼저 일차적으로 차분한 데이터를 활용하여 ARMA(1,1)과 ARMA(5,5)를 Fitting 해보겠습니다. LLR Test 결과를 보면 ARMA(5,5)일 때 Likelihood가 더 높음을 알 수 있습니다.
model_ret_ar_1_ma_1 = ARMA(df["diff_Close"][1:], order=(1,1))
results_ret_ar_1_ma_1 = model_ret_ar_1_ma_1.fit(maxiter=100)
results_ret_ar_1_ma_1.summary()
'''
====================================================================================
coef std err z P>|z| [0.025 0.975]
------------------------------------------------------------------------------------
const 0.4064 0.150 2.707 0.007 0.112 0.701
ar.L1.diff_Close 0.7282 0.086 8.445 0.000 0.559 0.897
ma.L1.diff_Close -0.7722 0.080 -9.657 0.000 -0.929 -0.615
'''
## Higher lag
model_ret_ar_5_ma_5 = ARMA(df["diff_Close"][1:], order=(5,5))
results_ret_ar_5_ma_5 = model_ret_ar_5_ma_5.fit(maxiter=100)
results_ret_ar_5_ma_5.summary()
'''
====================================================================================
coef std err z P>|z| [0.025 0.975]
------------------------------------------------------------------------------------
const 0.4075 0.149 2.738 0.006 0.116 0.699
ar.L1.diff_Close -0.5400 0.097 -5.572 0.000 -0.730 -0.350
ar.L2.diff_Close -0.1138 0.121 -0.941 0.347 -0.351 0.123
ar.L3.diff_Close -0.2997 0.113 -2.664 0.008 -0.520 -0.079
ar.L4.diff_Close -0.0207 0.125 -0.166 0.869 -0.266 0.224
ar.L5.diff_Close 0.6850 0.076 8.972 0.000 0.535 0.835
ma.L1.diff_Close 0.4909 0.093 5.267 0.000 0.308 0.674
ma.L2.diff_Close 0.0547 0.111 0.492 0.623 -0.163 0.273
ma.L3.diff_Close 0.2753 0.106 2.589 0.010 0.067 0.484
ma.L4.diff_Close -0.0156 0.114 -0.136 0.891 -0.240 0.209
ma.L5.diff_Close -0.7324 0.070 -10.497 0.000 -0.869 -0.596
'''
## LLR Test
LLR_test(results_ret_ar_1_ma_1 ,results_ret_ar_5_ma_5, DF=8) ## 0.003우리가 대략적으로 우리가 활용할 ARMA의 차수 p,q를 선택하긴 했지만 우리 데이터에 맞는 모델을 찾는 것은 쉽지 많은 일입니다. 따라서 일반적으로 여러 차수들의 조합을 하나씩 해보면서 Likelihood나 AIC를 활용하여 차수를 결정합니다.
##Finding Best Model
import itertools
p = range(0,7)
q = range(0,6)
pq = list(itertools.product(p,q))
pq
'''
[(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5),
(1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5),
(2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5),
(3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5),
(4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5),
(5, 0), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5),
(6, 0), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)]
'''
dict_model ={}
for i in pq:
try:
model = ARMA(df["diff_Close"][1:], order=(i))
print(i)
model_fit = model.fit( maxiter = 50)
# print("\n ARMA:", i, "\tLL = ", model_fit.llf, "\tAIC = ", model_fit.aic)
dict_model[i]=[model_fit.llf, model_fit.aic]
except:
print("error lag:",i)
information=pd.DataFrame.from_dict(dict_model, orient ="index", columns =["llf", "AIC"])
information
'''
llf AIC
(0, 0) -27880.760013 55765.520025
(0, 1) -27874.378058 55754.756116
(0, 2) -27868.459873 55744.919747
(0, 3) -27868.455678 55746.911357
(0, 4) -27867.999625 55747.999250
(0, 5) -27863.033780 55740.067560
(1, 0) -27874.916724 55755.833448
(1, 1) -27866.783239 55741.566478
(1, 2) -27866.779053 55743.558106
(2, 0) -27868.602791 55745.205582
(2, 1) -27868.600941 55747.201881
(2, 2) -27866.477850 55744.955701
(3, 0) -27868.601724 55747.203449
(3, 1) -27865.550586 55743.101171
(3, 2) -27865.176116 55744.352231
(4, 0) -27868.369223 55748.738446
(4, 1) -27864.280319 55742.560638
(4, 2) -27862.774859 55741.549719
(4, 3) -27860.780319 55739.560638
(4, 4) -27860.981231 55741.962461
(5, 0) -27863.682973 55741.365947
(5, 1) -27861.723647 55739.447294
(5, 2) -27861.648074 55741.296148
(5, 3) -27861.500173 55743.000345
(5, 4) -27861.439065 55744.878130
(5, 5) -27855.184151 55734.368302
(6, 0) -27861.707017 55739.414034
(6, 1) -27861.594288 55741.188577
(6, 2) -27861.587400 55743.174800
(6, 3) -27859.896809 55741.793619
(6, 4) -27859.300464 55742.600929
(6, 5) -27860.317466 55746.634932
'''
information.loc[information["llf"] == information["llf"].max()]
'''
llf AIC
(5, 5) -27855.184151 55734.368302
'''
information.loc[information["AIC"] == information["AIC"].min()]
'''
llf AIC
(5, 5) -27855.184151 55734.368302
'''해당 결과를 보면, (p,q)가 (5,5)일때 가장 Likelihood가 높고, AIC가 낮음을 확인할 수 있습니다. (6,5)랑 (5,5)를 가지고 LLR test를 수행해보겠습니다.
model_ret_ar_6_ma_5 = ARMA(df["diff_Close"][1:], order=(6,5))
results_ret_ar_6_ma_5 = model_ret_ar_6_ma_5.fit(maxiter= 100)
results_ret_ar_6_ma_5.summary()
LLR_test(results_ret_ar_5_ma_5 ,results_ret_ar_6_ma_5, DF=1) ##1.0이제 ARMA(5,5) 모형의 잔차를 분석해보도록 하겠습니다. 잔차는 기본적으로 Correlation을 가지면 안되기 때문에 ACF에서 유의한 autocorrelation이 나오면 안됩니다.
df['res_ar_5_ma_5'] = results_ret_ar_5_ma_5.resid
sgt.plot_acf(df['res_ar_5_ma_5'] [1:], zero = False, lags = 20)
plt.title("ACF Of Residuals for ARMA(5,5)", size=20)
plt.show()
다만 위의 사진을 보면 Lag 10에서 유의성을 나타내는데, 이는 모형에서 다루어야할 모든 시차를 포함하지 않음을 나타내는 것일 수 있습니다.
따라서 추가적으로 Ljung-Box test를 활용하여, 잔차들이 White Noise인지를 확인해 보겠습니다. Ljung-Box test의 특이한 점은 귀무가설이 잔차들이 White Noise란 것이며, P-value가 0.05미만이여서 귀무가설이 기각되었을 때 채택되는 대립가설이 잔차들이 White Noise가 아니다라는 것을 나타낸다는 것입니다.
Ljung Box Test에서 활용하는 Q statistic 는 아래와 같이 정의됩니다. Q Statistc은 s 자유도를 가진 $\chi^2$를 따르게 되어 카이제곱분포를 활용하여 통계적 검증울 수행합니다.
이 때 T는 관측값의 수(the number of observation)이며, s는 시차의 수(the total number of lags), $r_k$는 시차 k에서의 autocorrelation을 나타냅니다.
Python을 활용하여 Ljung-Box test를 수행해보겠습니다.
import statsmodels.api as sm
sm.stats.acorr_ljungbox(results_ret_ar_5_ma_5.resid, lags=[20], return_df=True)
'''
lb_stat lb_pvalue
20 15.602546 0.740955
'''위의 결과를 보면 p-value가 0.7로 귀무가설을 기각하지 못하여 잔차자 White Noise를 따름을 나타냅니다.
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