확률의 기본 연산

우리가 실제 어떤 사건의 확률을 계산할 때는 여러 관계 있는 사건들을 활용하는 것이 효율적인 경우가 많습니다. 예를 들어 주사위를 한 번 던졌을 때, 짝수면서 3보다 이하인 숫자가 나올 확률을 구해보는 문제가 있다고 해보겠습니다.

위의 문제는 "짝수인 사건" 과 "3보다 이하인 숫자가 나온 사건"을 활용하여 쉽게 확률을 도출해 볼 수 있습니다. 이러한 효율적인 계산을 위해서 사건들의 기본 연산인 여사건, 합사건, 곱사건에 대해서 살펴보겠습니다.

[여사건, 합사건, 곱사건]

여사건은 특정 사건 A가 있을 때 A에 포함되지 않은 근원사건들의 모임으로 나타냅니다.  따라서 특정 사건 A와 특정 사건 A의 여집합의 확률의 합은 1이 됩니다. 따라서 여사건의 확률법칙은 아래와 같습니다.

곱사건은 사건 A와 사건 B가 있을 때 사건 A와 사건 B에 모두 포함되는 근원사건들을 나타내게 되며 곱사건의 확률은 아래와 같이 표현됩니다.

합사건은 사건 A와 사건 B가 하나의 표본공간에 있다고 가정한다면, 사건 A 혹은 B에 모두 포함되는 근원사건들의 모임입니다. 이 때 단순히 사건 A에 속한 근원사건들과 사건 B에 속한 근원사건들을 더해주면 중복되는 부분이 중복되어 합해지기 때문에 중복되는 근원사건들은 제외해줘야 합니다. 따라서 합사건의 확률법칙은 아래와 같습니다.

 이 때, 사건 A와 사건 B가 공유하는 근원사건이 없다면 배반사건(Disjoint event)라고 합니다.

이제 예시를 통해 좀 더 직관적으로 이해해 보겠습니다.

실험 : 주사위를 던진다. 표본공간 : {1,2,3,4,5,6} 사건 A : 짝수가 나오는 사건 :{2,4,6} 사건 B : 3보다 이하인 수가 나오는 사건{1,2,3} 사건 C: 3보다 큰 수가 나오는 사건{4,5,6} (1) 사건 A의 여집합은 무엇인가? ->  {1,3,5} (표본공간에서 {2,4,6} 제거) (2) 사건 A와 사건 B의 교집합은 무엇인가? ->  {2} (사건 A와 사건 B가 공통적으로 가지고 있는 근원사건) (3) 사건 A와 사건 B의 합집합은 무엇인가? -> {1,2,3,4,6} (사건 A와 사건 B를 더한 후 중복되는 항목은 한 번만 표시) (4) 사건 B와 사건 C는 배반사건인가? -> 공유하는 근원사건이 없기 때문에 사건 B와 C는 배반산건

위의 예를 간단히 파이썬으로 구현한 코드입니다.

Set_ = set([1,2,3,4,5,6]) # 표본공간
Set_even =set([2,4,6]) # 사건 A- 짝수가 나오는 사건
Set_below3 = set([1,2,3]) #사건 B- 3보다 이하인 수가 나오는 사건
Set_above3 = set([4,5,6]) #사건 C- 3보다 큰 수가 나오는 사건
 
# 사건 A의 여집합
print(Set_.difference(Set_even)) #{1, 3, 5}
print(Set_ - Set_even) #{1, 3, 5}
 
# 사건 A와 사건 B의 교집합
print(Set_even.intersection(Set_below3)) #{2}
print(Set_even & Set_below3) #{2}
 
# 사건 A와 사건 B의 합집합
print(Set_even.union(Set_below3)) #{1, 2, 3, 4, 6}
print(Set_even | Set_below3) #{1, 2, 3, 4, 6}
 
# 사건 B와 사건 C는 배반사건인가?
print(Set_below3.intersection(Set_above3)) #set(): empty set
print(Set_below3 & Set_above3) #set(): empty set