확률변수, 확률분포

실험을 통해 일어날 수 있는 모든 사건들의 집합인 표본공간은 사건들의 집합으로 표현할 수 있었습니다. 예를 들어 동전을 두번 던지는 실험을 했다고 가정하면 표본공간은 {HH, HT, TH, TT}으로 표현 할 수 있습니다.(H: 앞면, T: 뒷면)

이 때 우리는 앞면의 나온 수로 각 근원 사건을 표현할 수 있습니다.({2,1,1,0}) 이와 같이 표본공간의 사건들을 특정 수치로 표현할 수 있습니다.

[확률변수]

이처럼 각 사건에 수치를 대응시키는 것을 확률변수(Random variable)라고 합니다. 즉, 확률변수는 각각의 사건들에 실수값을 대응시키는 함수라고 정의 할 수 있습니다.

예를 들어보겠습니다. 세 사람이 있고 세 사람은 아이폰이나 갤럭시 중 하나를 가지고 있다고 가정해보겠습니다. 그렇다면 이 때 아이폰을 가지고 있는 근원 사건은 아래와 같이 총 8가지로 표현할 수 있습니다.

A	B	C
아이폰	아이폰	아이폰
아이폰	아이폰	갤럭시
아이폰	갤럭시	갤럭시
아이폰	갤럭시	아이폰
갤럭시	갤럭시	갤럭시
갤럭시	갤럭시	아이폰
갤럭시	아이폰	아이폰
갤럭시	아이폰	갤럭시

근원사건과 아이폰을 가지고 있는 사람 수(X)를 대응해보겠습니다.

A	B	C	X
아이폰	아이폰	아이폰	3
아이폰	아이폰	갤럭시	2
아이폰	갤럭시	갤럭시	1
아이폰	갤럭시	아이폰	2
갤럭시	갤럭시	갤럭시	0
갤럭시	갤럭시	아이폰	1
갤럭시	아이폰	아이폰	2
갤럭시	아이폰	갤럭시	1

이 때 우리는 아이폰을 가지고 있는 사람 수(X)는 근원사건을 특정 숫자로 대응하게 해주는 확률변수이며, 확률 값을 가지게 됩니다.

확률변수가 위의 예처럼 셀 수 있는 경우라면 "이산확률변수", 셀 수 없이 구간에서 연속인 확률변수는 "연속확률변수"라고 정의 할 수 있습니다.

[확률분포]

확률변수는 각각 확률 값을 가지게 됩니다. 확률변수가 가질 확률을 정해주는 관계를 확률분포(Probability distribution)이라고 부르며, 확률변수가 가지는 값과 그 확률변수에 대응하는 확률값을 나타내는 것입니다. 

위의 예(아이폰을 가진 사람 수)를 활용하여 확률분포를 자세히 알아보겠습니다.

근원사건	확률변수	확률
(아이폰,아이폰,아이폰)	3	1/8
(아이폰,아이폰,갤럭시)/(아이폰,갤럭시,아이폰)/(갤럭시,아이폰,아이폰)	2	3/8
(갤럭시,갤럭시,아이폰)/(갤럭시,아이폰,갤럭시)/(아이폰,갤럭시,갤럭시)	1	3/8
(갤럭시,갤럭시,갤럭시)	0	1/8

위의 표에서 확인 할 수 있듯이 각 확률변수에 대응하는 확률로 분포는 표현됩니다. 이 때 확률분포의 값은 1보다 작아야 하며, 확률의 합은 1이 되어야 합니다.